Convertir un círculo en un cuadrado es posible con este kirigami

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Kirigami lleva los libros emergentes a un nivel completamente nuevo. La artesanía de papel japonesa consiste en cortar patrones en papel para transformar una hoja bidimensional en una estructura tridimensional intrincada cuando se pliega parcialmente. En manos de un artista, el kirigami puede producir réplicas delicadas y muy detalladas de estructuras en la naturaleza, la arquitectura y más.

Los científicos e ingenieros también se han inspirado en el kirigami, aplicando principios del corte de papel para diseñar pinzas robóticas, componentes electrónicos estirables, láminas para recolectar agua y otros materiales y dispositivos que cambian de forma. En su mayor parte, tales inventos son productos de un diseño desde cero. No ha habido ningún plan para que los ingenieros determinen el patrón de cortes que transformará un material de una forma deseada a otra, es decir, hasta ahora.

Un nuevo estudio en Nature Computational Science presenta una estrategia computacional general que puede resolver cualquier transformación bidimensional inspirada en kirigami. El método se puede utilizar para determinar el ángulo y la longitud de los cortes que se van a realizar, de modo que una lámina pueda transformarse de una forma deseada a otra cuando se abre y se vuelve a juntar, como una celosía intrincada y expandible.

Con su nuevo método, los investigadores diseñaron y fabricaron una serie de estructuras kirigami 2D transformables, incluido un círculo que se convierte en un cuadrado y un triángulo que se transforma en un corazón.

"La gente ha hablado del cuadrado y el círculo como uno de los problemas matemáticos imposibles: no se puede convertir uno en el otro", dice Gary Choi, posdoctorado e instructor de matemáticas aplicadas en el MIT. "Pero con kirigami, en realidad podemos convertir una forma cuadrada en una forma circular".

Para los ingenieros, el nuevo método podría usarse para resolver varios problemas de diseño, como por ejemplo, cómo se puede diseñar un robot para transformarse de una forma a otra para realizar una tarea particular o navegar por ciertos espacios. También existe potencial para diseñar materiales activos, por ejemplo, como revestimientos inteligentes para edificios y viviendas.

"Una de las primeras aplicaciones en las que pensamos fue la construcción de fachadas", dice Kaitlyn Becker, profesora asistente de ingeniería mecánica en el MIT. "Esto podría ayudarnos a hacer grandes fachadas similares a kirigami que pueden transformar su forma para controlar la luz solar, la radiación ultravioleta y adaptarse a su entorno".

Becker y Choi son coautores del nuevo estudio, junto con Levi Dudte, investigador cuantitativo de Optiver, y L. Mahadevan, profesor de la Universidad de Harvard.

El espacio entre

El estudio surgió del trabajo previo del equipo tanto en kirigami como en origami, el arte japonés de doblar papel.

"Descubrimos que hay muchas conexiones matemáticas en kirigami y origami", dice Choi. "Así que queríamos idear una formulación matemática que pudiera ayudar a las personas a diseñar una gran variedad de patrones".

En 2019, el equipo ideó un enfoque de optimización para kirigami a fin de encontrar el patrón de cortes que se necesitaría para convertir una forma en otra. Pero Choi dice que el enfoque era demasiado computacionalmente intensivo y tomó una gran cantidad de tiempo obtener un patrón óptimo para lograr una transformación particular.

En 2021, los investigadores abordaron un problema similar en origami y descubrieron que, a través de una perspectiva ligeramente diferente, podían derivar una estrategia más eficiente. En lugar de planificar un patrón de pliegues individuales (similar a los cortes individuales de kirigami), el equipo se centró en hacer crecer un patrón a partir de una simple semilla doblada. Al trabajar panel por panel y establecer relaciones entre paneles, como por ejemplo, cómo se movería un panel si se doblara un panel adyacente, pudieron derivar un algoritmo relativamente eficiente para planificar el diseño de cualquier estructura de origami.

El equipo se preguntó si se aplicaría un enfoque similar al kirigami. En el kirigami tradicional, una vez que se han hecho cortes en una hoja de papel, la hoja se puede plegar parcialmente de modo que los espacios vacíos resultantes creen una estructura tridimensional. Al igual que los paneles entre los pliegues del origami, ¿podrían los espacios vacíos entre los cortes y su relación entre sí generar una fórmula más eficiente para el diseño de kirigami? Esta pregunta motivó el nuevo estudio del equipo.

Enlaces matemáticos

El estudio se centra en las transformaciones kirigami bidimensionales. Los investigadores consideraron un diseño general de kirigami que comprende un mosaico de mosaicos cuadriláteros interconectados, cada uno cortado en varios ángulos y tamaños. El mosaico conceptual comienza como una forma y se puede separar y volver a unir para formar una forma completamente nueva. El desafío era describir cómo una forma puede transformarse en otra, en función de los espacios vacíos entre los mosaicos y cómo cambian los espacios a medida que los mosaicos se separan y se vuelven a juntar.

"Si los mosaicos en sí son sólidos e inmutables, entonces los espacios vacíos entre ellos son una oportunidad para el movimiento", dice Becker.

El equipo primero consideró la representación más simple del espacio vacío, en forma de rombo, o lo que ellos llaman un "enlace de cuatro barras". Cada lado del rombo representa una barra, o el borde de un mosaico sólido. Cada esquina del rombo representa un enlace o bisagra que conecta los mosaicos. Al cambiar la longitud y el ángulo de los bordes del rombo, el equipo pudo estudiar cómo cambia el espacio vacío entre ellos.

Al estudiar conjuntos progresivamente más grandes de enlaces de cuatro barras, el equipo identificó relaciones entre el ángulo y la longitud de las barras, la forma de los espacios vacíos individuales y la forma del conjunto en general. Trabajaron estas relaciones en una fórmula general y descubrieron que podía identificar de manera eficiente el patrón de cortes, incluido su ángulo y longitud, que se requeriría para transformar una hoja bidimensional de una forma deseada a otra.

"Sin una herramienta como esta, podría forzar este problema en Matlab, o adivinar y verificar, pero me llevaría mucho tiempo obtener algo que pueda transformarse de un círculo a un cuadrado", dice Becker.

En las simulaciones, el equipo descubrió que la fórmula podía encontrar un patrón de mosaicos que convertiría un mosaico en forma de círculo en un cuadrado, así como prácticamente cualquier forma en cualquier otra forma deseada.

Yendo un paso más allá, el equipo desarrolló dos métodos de fabricación para realizar físicamente los diseños de la fórmula. Rápidamente se dieron cuenta de que un desafío clave en la fabricación de los mosaicos transformables era encontrar el material adecuado para servir como bisagras para conectar las baldosas. Las conexiones debían ser fuertes, pero fácilmente flexibles.

"Pensé, ¿qué es muy fuerte en tensión y resistente al desgarro, pero puede tener un radio de curvatura cero, casi como una bisagra en punta?" dice Becker. "Y resulta que la respuesta es tela".

El equipo usó dos métodos, impresión 3D y moldeo por fundición, para incrustar pequeñas tiras de tela en mosaicos de plástico cuadriláteros, de una manera que conectaba estrechamente los mosaicos y permitía que se doblaran entre sí. Usando estos dos métodos, el equipo fabricó mosaicos en forma de círculo que se transformaron en cuadrados, así como mosaicos triangulares simples que se transformaron en formas de corazón más complejas.

"Básicamente, podemos ir a cualquier forma bidimensional", dice Choi. "Eso está garantizado, usando nuestra formulación matemática. Ahora estamos buscando extender esto al kirigami 3D".

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